РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2280 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6\.2\. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Методы тригонометрии: Формулы кратных углов

Тригонометрические уравнения

Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $2 синус 3x косинус 3x минус синус 6x синус 10x = 0$ на промежутке (−150°; −55°).

Решение. Решая уравнение, получаем:

$2 синус 3x косинус 3x минус синус 6x синус 10x = 0 равносильно синус 6x минус синус 6x синус 10x = 0 равносильно синус 6x левая круглая скобка 1 минус синус 10x правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 6x = 0, синус 10x = 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 6x = Пи k, 10x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 6 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 5 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 30 градусов k, x = 9 градусов k плюс 36 градусов k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Отберем корни первой серии, принадлежащие указанному промежутку:

$минус 150 градусов меньше 30 градусов k меньше минус 55 градусов равносильно k = минус 4, минус 3, минус 2.$

Таким образом, корни первой серии, принадлежащие указанному промежутку: −120°, −90°, −60°. Отберем корни второй серии, принадлежащие указанному промежутку:

$минус 155 градусов меньше 9 градусов плюс 36 градусов k меньше минус 55 градусов равносильно минус 164 градусов меньше 36 градусов k меньше минус 64 градусов равносильно k = минус 4, минус 3, минус 2.$

Таким образом, корни второй серии, принадлежащие указанному промежутку: −135°, −99°, −63°. Сумма всех корней уравнения, принадлежащих промежутку (−150°; −55°), равна

$минус 120 градусов плюс левая круглая скобка минус 90 градусов правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 60 градусов правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 135 градусов правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 99 градусов правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус 63 градусов правая круглая скобка = минус 567 градусов .$

Ответ: −567.

Ответ: -567

2280

-567

Классификатор алгебры: 6\.2\. Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Группировка, разложение на множители

Методы тригонометрии: Формулы кратных углов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2280	-567